Родители Зверева, Александр и Ирина, имели успешные карьеры в советском теннисе. «Спорт-Экспрессу» «Нас с супругой можно назвать россиянами, которые живут за границей. Пройдет еще много лет, но мы так и останемся русскими. А вот дети наши, думаю, стали европейцами. Саша появился на свет уже в Германии, Миша родился в Москве, но уехал за границу в четыре года. Впрочем, многие русские черты у них сохранились. Например, оба обожают нашу кухню. Супруга замечательно готовит, и мы часто едим российские блюда» «Я знаю много примеров, когда в семье пытались разговаривать на смеси двух языков. В конце концов, дети все равно русский забывали. Мы с женой не хотели, чтобы это произошло, и потому приняли такое решение» По меркам того времени они оба добились значительных результатов: отец выигрывал чемпионаты СССР и выступал за сборную в Кубке Дэвиса, мать была четвёртой ракеткой страны.
Оба родителя родились в Сочи и поженились в молодом возрасте. В 1987 году у них родился старший сын Михаил, а семья проживала в Москве. Вскоре после этого, в 1991 году, они получили приглашение работать в теннисный клуб Гамбурга и переехали в Германию.
Именно в Германии, в 1997 году, родился Александр Зверев-младший. Несмотря на немецкое место рождения, «Я не могу эту ###### подачу попасть, а ты мне тут какую-то ##### говоришь, #####!» в российском теннисном сообществе принято активно болеть за него, видя в молодом спортсмене продолжение теннисной династии с русскими корнями.