Барков выступает за сборную Финляндии, хотя его отец играл за Россию. Выбор между странами он сделал в 15 лет, отдав предпочтение финнам. С тех пор он стал ключевым игроком национальной команды и дошёл до вершины на чемпионате мира.
В НХЛ Барков представляет «Флориду» с сезона 2013/14 и является одним из лидеров команды. Главный тренер «Пантерс» Пол Морис отмечал значимость игрока для клуба. В лиге нападающий постоянно получает признание как лучший в оборонительном плане.
За последние годы репутация Барков значительно выросла благодаря успехам «Флориды». После двух побед в Кубке Стэнли его мастерство наконец получило широкое признание. Теперь чемпионат мира добавил золотую медаль в его коллекцию.